判处死刑立即执行的由最高人民法院核准。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定,死刑除依法由最高人民法院判决的以外,都应当报请最高人民法院核准。这一规定体现了我国在死刑适用上极为谨慎和严格的态度。
最高人民法院作为我国的最高审判机关,统一行使死刑核准权具有多方面的重要意义。从司法公正的角度来看,最高人民法院拥有更专业、更权威的审判资源和司法能力。其法官队伍素质高、经验丰富,能够从全国性的视角和法律统一适用的高度,对每一起死刑案件进行全面、细致的审查,确保死刑判决符合法律规定和司法公正的要求,避免因地方差异等因素导致的司法不公。
从人权保障的层面而言,严格的死刑核准程序是对被告人生命权的重要保障。生命权是公民最基本、最重要的权利,一旦被剥夺就无法挽回。最高人民法院的严格核准可以防止错杀、冤杀等悲剧的发生,尽可能地减少死刑适用中的错误和偏差。
在实际操作中,中级人民法院判处死刑的第一审案件,被告人不上诉的,应当由高级人民法院复核后,报请最高人民法院核准。高级人民法院不同意判处死刑的,可以提审或者发回重新审判。高级人民法院判处死刑的第一审案件被告人不上诉的,和判处死刑的第二审案件,都应当报请最高人民法院核准。
最高人民法院核准判处死刑立即执行案件,是我国法治建设中保障司法公正、维护人权的重要制度安排。

法律依据:
《中华人民共和国刑法》 第四十八条
死刑只适用于罪行极其严重的犯罪分子。对于应当判处死刑的犯罪分子,如果不是必须立即执行的,可以判处死刑同时宣告缓期二年执行。死刑除依法由最高人民法院判决的以外,都应当报请最高人民法院核准。死刑缓期执行的,可以由高级人民法院判决或者核准。