把盗窃者打成重伤一般属于防卫过当行为,可能构成故意伤害罪,但在符合特定条件时,也可能构成正当防卫。
在面对盗窃行为时,公民有权采取必要的措施进行制止,这是法律赋予的正当防卫权利。然而,正当防卫必须在合理的限度之内。根据《中华人民共和国刑法》规定,为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害,而采取的制止不法侵害的行为,对不法侵害人造成损害的,属于正当防卫,不负刑事责任。正当防卫明显超过必要限度造成重大损害的,应当负刑事责任,但是应当减轻或者免除处罚。
通常情况下,盗窃行为主要是针对财产权益,一般不会对人身安全造成严重威胁。如果将盗窃者打成重伤,这种行为所造成的损害结果与盗窃行为的危害程度明显不相适应,就可能被认定为防卫过当。防卫过当本质上是一种具有防卫性质但超过必要限度的行为,可能会被以故意伤害罪追究刑事责任。例如,小偷只是在屋内行窃,财物价值并不高,主人发现后将小偷打成重伤,这种情况大概率会被认定为防卫过当。
不过,存在特殊情形。如果在盗窃过程中,盗窃者为了抗拒抓捕、毁灭罪证等而当场使用暴力或者以暴力相威胁,其行为性质就可能转化为抢劫罪。在面对转化型抢劫这种严重危及人身安全的暴力犯罪时,采取防卫行为,造成不法侵害人伤亡的,不属于防卫过当,不负刑事责任。比如,小偷在被发现后,拿出凶器抗拒抓捕,此时将其打成重伤,就可能构成正当防卫。
总之,把盗窃者打成重伤的行为性质需要结合具体的案件事实和情节,依据法律规定进行综合判断。

法律依据:
《中华人民共和国刑法》 第二十条
为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害,而采取的制止不法侵害的行为,对不法侵害人造成损害的,属于正当防卫,不负刑事责任。正当防卫明显超过必要限度造成重大损害的,应当负刑事责任,但是应当减轻或者免除处罚。对正在进行行凶、杀人、抢劫、强奸、绑架以及其他严重危及人身安全的暴力犯罪,采取防卫行为,造成不法侵害人伤亡的,不属于防卫过当,不负刑事责任。