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醉驾逃跑被抓住会面临严厉的法律处罚，包括刑事处罚和行政处罚。刑事上，会构成危险驾驶罪，可能被判处拘役并处罚金；行政处罚方面，会被吊销机动车驾驶证，且在一定期限内不得重新取得。
从刑事法律层面来看，根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条之一规定，在道路上醉酒驾驶机动车的，构成危险驾驶罪。而醉酒驾驶后逃跑被抓住这一行为，并不会改变危险驾驶罪的定性。危险驾驶罪的刑罚为拘役，并处罚金。拘役的期限一般为一个月以上六个月以下。司法实践中，法院会综合考虑醉驾的情节、逃跑行为的恶劣程度等因素来确定具体的量刑。例如，如果在逃跑过程中造成了交通事故、妨碍了执法人员执行公务等，可能会被认定为情节较为恶劣，在量刑时会相对从重。
在行政处罚方面，依据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条规定，醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。如果是醉酒驾驶营运机动车的，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；十年内不得重新取得机动车驾驶证，重新取得机动车驾驶证后，不得驾驶营运机动车。
醉驾逃跑被抓住后，还可能面临其他不利后果。逃跑行为可能会导致交通事故责任认定时承担更重的责任。如果在逃跑过程中发生了交通事故，造成他人人身伤亡或者财产损失的，还需要承担相应的民事赔偿责任。情节特别严重的，如在逃跑过程中故意冲撞他人、造成重大人员伤亡等，可能会以更严重的罪名，如以危险方法危害公共安全罪来定罪处罚。醉驾本身就是严重的违法行为，而逃跑只会让违法者面临更严厉的法律制裁。
法律依据：
《中华人民共和国刑法》 第一百三十三条之一
在道路上驾驶机动车，有下列情形之一的，处拘役，并处罚金：
（一）追逐竞驶，情节恶劣的；
（二）醉酒驾驶机动车的；
（三）从事校车业务或者旅客运输，严重超过额定乘员载客，或者严重超过规定时速行驶的；
（四）违反危险化学品安全管理规定运输危险化学品，危及公共安全的。
机动车所有人、管理人对前款第三项、第四项行为负有直接责任的，依照前款的规定处罚。
有前两款行为，同时构成其他犯罪的，依照处罚较重的规定定罪处罚。
