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变更子女抚养权手续分为协议变更和诉讼变更两种情况。协议变更需双方签订变更抚养权协议，然后到公证处办理公证或到法院走调解程序；诉讼变更则需要向有管辖权的法院提起诉讼，由法院审理判决。
在法律层面，根据《最高人民法院关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释（一）》第五十六条规定，具有下列情形之一，父母一方要求变更子女抚养关系的，人民法院应予支持：（一）与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女；（二）与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；（三）已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力；（四）有其他正当理由需要变更。
对于协议变更的情况，若双方都同意变更子女抚养权，且变更后有利于孩子的生活，那么双方可以签订变更抚养权的协议。为了增强协议的法律效力，避免日后产生纠纷，双方可以选择到公证处办理变更抚养权协议公证。公证时需携带双方身份证、户口本、离婚证、离婚协议书、子女出生证明等相关材料。双方也可以到法院走调解程序，由法院出具民事调解书，这种方式同样具有法律效力。
而诉讼变更，当一方不同意变更抚养权，另一方认为存在需要变更抚养权的法定情形时，可以向有管辖权的法院提起诉讼。通常是向被告住所地法院起诉，如果被告住所地与经常居住地不一致的，向经常居住地法院起诉。起诉时，原告需要准备好起诉状，在起诉状中明确诉讼请求，即要求变更子女抚养权，并阐述事实和理由，比如列举对方不适合继续抚养子女的证据等。同时，要向法院提交相关证据，如医疗证明、证人证言、孩子的意愿表达等。法院受理案件后，会根据双方提供的证据和实际情况进行审理，并作出判决。
无论是哪种变更方式，最终的目的都是为了保障子女的健康成长，以子女的利益为出发点和落脚点。
法律依据：
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》 第五十六条
具有下列情形之一，父母一方要求变更子女抚养关系的，人民法院应予支持：
（一）与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女；
（二）与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；
（三）已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力；
（四）有其他正当理由需要变更。
