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取保申请书交上去后最快当天放人，但具体时间没有明确的法律规定，需结合实际情况确定。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十七条规定，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请变更强制措施。人民法院、人民检察院和公安机关收到申请后，应当在三日以内作出决定；不同意变更强制措施的，应当告知申请人，并说明不同意的理由。
从理论上来说，如果司法机关在收到取保候审申请后的当天就作出同意取保候审的决定，并且相关的手续能够立即办理完毕，那么犯罪嫌疑人最快当天就可以被释放。然而在实际操作中，这一过程往往会受到多种因素的影响。
司法机关需要对取保候审申请进行审查，判断是否符合取保候审的条件。《刑事诉讼法》第六十七条规定了可以取保候审的情形，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的等。司法机关要根据案件的具体情况，包括犯罪的性质、情节、犯罪嫌疑人的社会危险性等进行综合考量，这一审查过程可能需要一定的时间。
即使司法机关同意取保候审，还需要办理一系列的手续。例如，犯罪嫌疑人需要提供保证人或者交纳保证金。提供保证人的，要确保保证人符合相应的条件；交纳保证金的，要按照规定的程序进行缴纳。这些手续的办理也需要时间，可能会导致放人时间的延迟。
不同地区的司法机关工作效率也存在差异，一些地区案件量较大，可能会影响到取保候审申请的审批和办理速度。所以，虽然法律规定了司法机关的审查期限，但具体的放人时间要根据实际情况来确定。
法律依据：
《中华人民共和国刑事诉讼法》 第九十七条
犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请变更强制措施。人民法院、人民检察院和公安机关收到申请后，应当在三日以内作出决定；不同意变更强制措施的，应当告知申请人，并说明不同意的理由。
